Question

以平面上一點O為直角頂點，分別畫出兩個直角三角形，記作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．
（1）點E、F、M分別是AC、CD、DB的中點，連接EF和FM．
①如圖1，當點D、C分別在AO、BO的延長線上時，=_______；

②如圖2，將圖1中的△AOB繞點O沿順時針方向旋轉角（），其他條件不變，判斷的值是否發生變化，并對你的結論進行證明；

（2）如圖3，若BO=，點N在線段OD上，且NO=3．點P是線段AB上的一個動點，在將△AOB繞點O旋轉的過程中，線段PN長度的最小值為_______，最大值為_______．

Answer 1

(1)；（2）沒有，證明見解析.

解析試題分析：(1)1連接EF，由已知條件證明△EMF是直角三角形，并且可求出∠EMF=30°，利用30°角的余弦值即可求出的值；2若△AOB繞點O沿順時針方向旋轉角（0°＜＜60°），其他條件不變，的值不發生變化，連接EF、AD、BC，由1的思路證明∠EMF=30°即可.
（2）過O作OE⊥AB于E，由已知條件求出當P在點E處時，點P到O點的距離最近為，當旋轉到OE與OD重合時，NP取最小值為：OP-ON=-2；當P點在點B處時，且當旋轉到OB在DO的延長線時，NP取最大值OB+ON=.
試題解析：（1）①．
② 不變．
證明：如圖，連結AD和BC．

在Rt△AOB和Rt△COD中，
∠AOB=∠COD=90°，∠ABO=∠DCO=30°．
∴∠AOD=∠COB，
．
∴．
∴．
又∵E、F、M分別為AC、CD、BD中點，
∴，．
∴．
（2）線段PN長度的最小值為-2，最大值為．
考點: 相似形綜合題.