Question

小明對直角三角形很感興趣. △ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上任意一點，連接DC，作DE⊥DC，EA⊥AC，DE與AE交于點E.請你跟著他一起解決下列問題：

(1)如圖1，若△ABC是等腰直角三角形，則DE,DC有什么數量關系？請給出證明.
(2)如果換一個直角三角形，如圖2，∠CBA＝30°，則DE,DC又有什么數量關系？請給出證明.
(3)由(1)、(2)這兩種特殊情況，小明提出問題：如果直角三角形ABC中，BC=mAC，那DE, DC有什么數量關系？請給出證明.

Answer 1

(1)DE=DC，證明見解析；(2)DC=DE，證明見解析；(2)DC=DE，證明見解析.

解析試題分析：(1) 過點D作DF⊥AC,DG⊥AE于點G，通過證明△CDF≌△EDG而得出結論；
(2) 過點D作DF⊥AC,DG⊥AE于點G，應用銳角三角函數定義和.特殊角的三角函數值，通過證明△CDF∽△EDG而得出結論；
(3) 過點D作DF⊥AC,DG⊥AE于點G，根據BC=mAC，通過證明△CDF∽△EDG而得出結論.
試題解析：(1)DE=DC，證明如下：
如圖，過點D作DF⊥AC,DG⊥AE于點G，
由EA⊥AC可知四邊形AGDF為矩形，∴DG="FA."
∵DF∥BC，△ABC是等腰直角三角形，∴DF=AF，即DG=DF.
又∵DE⊥DC，∴∠CDE-∠EDF=∠FDG-∠EDF，即∠CDF=∠EDG.
∴△CDF≌△EDG. ∴DE=DC.

(2)DC=DE，證明如下：
如圖，過點D作DF⊥AC,DG⊥AE于點G，
由EA⊥AC可知四邊形AGDF為矩形，∴DG=FA.
∵DE⊥DC，∴∠CDE-∠EDF=∠FDG-∠EDF，即∠CDF=∠EDG. ∴△CDF∽△EDG. ∴.
又∵△ADF∽△ABC，∴.
∵∠CBA＝30°，∴.
∴.∴DC=DE.

(3) DC=DE.證明如下：
如圖，過點D作DF⊥AC,DG⊥AE于點G，
由EA⊥AC可知四邊形AGDF為矩形，∴DG=FA.
∵DE⊥DC，∴∠CDE-∠EDF=∠FDG-∠EDF，即∠CDF=∠EDG. ∴△CDF∽△EDG. ∴.
又∵△ADF∽△ABC，∴.
∵BC=mAC，∴.∴DC=DE.

考點：1.矩形的判定和性質；2. 等腰直角三角形的性質；3.全等三角形的判定和性質；4.銳角三角函數定義；5.特殊角的三角函數值；6.相似三角形的判定和性質.