Question

【題目】如圖，在中，點是的中點．以為直徑作分別交，于點，，與相切于點．

（1）求證：；

（2）若，時，求的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

(1)根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得AM=BM，進而得∠A=∠ABM，再根據圓內接四邊形的性質得∠MDE=∠ABM，進而得∠A=∠MDE，據此可得答案.

(2)連接BD，由三角形面積求出BD，進而由勾股定理求得AD，再由△MDE∽△MAB求得DE.

解：(1)證明：∵BC與相切于點B，∴∠ABC=90°，

∵點M是AC的中點，∴BM=AM=CM，

∴∠MAB=∠MBA，

∵四邊形ABED是的內接四邊形，

∴∠ADE+∠ABE=180°，

∵∠MDE+∠ADE=180°，

∴∠MDE=∠ABE，

∴∠MDE=∠MAB.

∴DE∥AB.

(2)連接BD，如下圖所示：

∵AB=6，BC=8，∠ABC=90°，

∴由勾股定理求得AC=10，

∵AB是的直徑，

∴∠ADB=90°，

∵AB×BC=AC×BD

∴,

∴，

∴DM=AM-AD=5-3.6=1.4，

∵DE∥AB，

∴△MDE∽△MAB，

∴，代入數據：

解得.

故答案為：.