Question

【題目】如圖，是矩形內一點，于點，于點，．

請判斷四邊形是否是正方形？若是，寫出證明過程：若不是，說明理由；

延長到點，使，連接交的延長線于點，求的度數．

Answer 1

【答案】四邊形為正方形，理由見解析；（2）

【解析】

（1）由四邊形ABCD為矩形可得∠ABC=90°，易得∠ABP+∠PBC=90°，由AP⊥BP，可得∠ABP+∠PAB=90°，易得∠PBC=∠PAB，由AAS定理可得△ABP≌△BCE，由全等三角形的性質可得AB=BC，易得結論；
（2）連接AC，由△ABP≌△BCE易得AP=BE，又CF=BE，可得AP=CF，易得四邊形ACGP是平行四邊形，可得∠ACB=∠BGC，由四邊形ABCD是正方形，AC是對角線，可得∠ACB=∠BGP=45°．

解：四邊形為正方形．

∵四邊形是矩形，

∴，

即，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

在與中，

，

∴≌，

∴，

∴矩形為正方形；

連接，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴四邊形是平行四邊形，

∴，

∴，

∵四邊形是正方形，是對角線，

∴，

∴．