Question

【題目】如圖1，以為直徑作半圓，點在半圓上，連結，，且.連結，是邊上的高，過點作交的延長線于點，交于點.

（1）求證：.

（2）當為的中點時，求的值.

（3）如圖2，取的中點，連結.

①若，在點運動過程中，當四邊形的其中一邊長是的2倍時，求所有滿足條件的長.

②連結，當的面積是的面積的3倍時，求的值（請直接寫出答案）.

圖1圖2

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）①當或時，四邊形其中一邊長為的2倍；②

【解析】

（1）先證明 再證明，從而可得結論；

（2）先證明是等邊三角形，再證明，利用銳角三角函數可得結論；（3）①分情況討論：i當，ii當，iii當，結合圖形性質可得結論；②當的面積是的面積的3倍時，得到 設則 結合圖形的性質用含的代數式表示 利用正切的定義可得答案．

解：（1）∵，

∴.

∵為的直徑，

∴，且，

∴.

∴.

∴.

（2）∵為邊上的高，且，

∴.

∴.

∴.

又∵為中點，且，

∴.

∴是等邊三角形，

∴.

∵．

，

∴

（3）①i當，由題意得：

設為，則

∴

由，得

∴.

由

得.

∴

ii當

設為，則.

由得，

，化簡，

，（舍）

∴

iii當

由于，且

∴不存在

綜上所述，當或時，四邊形其中一邊長為的2倍.

②如圖，當的面積是的面積的3倍時，

設則

為的中點，

設 則

解得： 或舍去，

同理可得：