Question

【題目】已知：在中， ， ，點是的中點，點是邊上一點．

（）如圖，若交延長線于點，交的延長線于點，求證： ；

（）如圖，若為線段上一點，且， 的延長線交于，請判斷線段與的關系，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】（）；（）且．

【解析】試題分析：（1）由等腰直角三角形的性質得到：AD=CD，再證明△MAD≌△ECD，即可得到結論．

（2）（2）證明△ACE≌△CBG，得到CE=BG，∠ACE=∠CBG，再證明BG⊥CE即可．

試題解析：（）證明：∵點D是AB中點，AC=BC，∠ACB=90°，∴CD⊥AB，∠ACD=∠DAC=45°，∴AD=CD．

又∵AH⊥CE，∴∠HAE+∠AEH=90°，

又∵∠CED+∠ECD=90°，∠AEH=∠CED（對頂角相等），∴∠HAE=∠ECD，

在△MAD和△ECD中．∵∠MAD=∠ECD，AD=CD，∠ADM=∠CDE=90°，

∴△MAD≌△ECD（ASA ），∴DE=DM．

（2）BG=CE且BG⊥CE．證明如下：

∵點D是AB中點，AC=BC，∠ACB=90°，∴CD⊥AB，∠CAD=∠BCD=45°．

在△ACE和△CBG中，∵AC=BC，∠CAE=∠BCG=45°，AE=CG，∴△ACE≌△CBG（SAS ），∴CE=BG，∠ACE=∠CBG．

又∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠ECB=90°，∴∠CBG+∠ECB=90°，∴在△BCF中，∠FCB+∠CBF=90°，∴∠CFB=90°，∴BF⊥CE即BG⊥CE，

綜上所述，BG=CE且BG⊥CE．