Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2+bx﹣4a經過A（﹣1，0）、C（0，4）兩點，與x軸交于另一點B．

（1）求拋物線和直線BC的解析式；

（2）如圖2，點P為第一象限拋物線上一點，是否存在使△PBC面積最大的點P？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）如圖3，若拋物線的對稱軸EF（E為拋物線頂點）與直線BC相交于點F，M為直線BC上的任意一點，過點M作MN∥EF交拋物線于點N，以E，F，M，N為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點N的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式：y=﹣x2+3x+4．（2）存在，當P（2，6）時，△PCB的面積最大；（3）存在，點N坐標為（，）、（，），（，）．

【解析】

試題分析：（1）根據拋物線y=ax2+bx﹣4a經過A（﹣1，0）、C（0，4）兩點，列出a和b的二元一次方程組，求出a和b的值，進而求出點B的坐標，即可求出直線BC的解析式；

（2）過點P作PQ∥y軸，交直線BC于Q，設P（x，﹣x2+3x+4），則Q（x，﹣x+4）；求出PQ的長，利用S△PCB=PQOB列出S關于x的二次函數，利用函數的性質求出面積的最大值，進而求出點P的坐標；

（3）首先求出EF的長，設N（x，﹣x2+3x+4），則M（x，﹣x+4），利用平行四邊形對邊平行且相等列出x的一元二次方程，解方程求出x的值即可．

解：（1）依題意，有：，

解得．

∴拋物線的解析式：y=﹣x2+3x+4．

∴由B（4，0）、C（0，4）可知，直線BC：y=﹣x+4；

（2）由B（4，0）、C（0，4）可知，直線BC：y=﹣x+4；

如圖1，過點P作PQ∥y軸，交直線BC于Q，設P（x，﹣x2+3x+4），則Q（x，﹣x+4）；

∴PQ=（﹣x2+3x+4）﹣（﹣x+4）=﹣x2+4x；

S△PCB=PQOB=×（﹣x2+4x）×4=﹣2（x﹣2）2+8；

∴當P（2，6）時，△PCB的面積最大；

（3）存在．

拋物線y=﹣x2+3x+4的頂點坐標E（，），

直線BC：y=﹣x+4；當x=時，F（，），

∴EF=．

如圖2，過點M作MN∥EF，交直線BC于M，設N（x，﹣x2+3x+4），則M（x，﹣x+4）；

∴MN=|（﹣x2+3x+4）﹣（﹣x+4）|=|﹣x2+4x|；

當EF與NM平行且相等時，四邊形EFMN是平行四邊形，

∴|﹣x2+4x|=；

由﹣x2+4x=時，解得x1=，x2=（不合題意，舍去）．

當x=時，y=﹣（）2+3×+4=，

∴N1（，）．

當﹣x2+4x=﹣時，解得x=，

當x=時，y=，

∴N2（，），

當x=時，y=，

即N3（，），

綜上所述，點N坐標為（，）、（，），（，）．