Question

【題目】已知關于x函數y＝(2﹣k)x2﹣2x+k

(1)若此函數的圖象與坐標軸只有2個交點，求k的值．

(2)求證：關于x的一元二次方程(2﹣k)x2﹣2x+k＝0必有一個根是1．

Answer 1

【答案】(1)2或0或1；(2)證明見解析.

【解析】

（1）分情況討論：（i）k﹣2＝0時，求出k．（ⅱ）k﹣2≠0時，得到一個二次函數，①拋物線與x軸只有一個交點，△＝4（k﹣1）2，求出k；②拋物線與x軸有兩個交點，其中一個交點是（0，0），把（0，0）代入函數解析式，求出k．

（2）設關于x的一元二次方程（2﹣k）x2﹣2x+k＝0的兩個實數根分別為x1，x2，根據公式求出方程的解即可得到答案．

(1)解：分情況討論：

(i)k﹣2＝0時，得k＝2．

此時y＝﹣2x+2與坐標軸有兩個交點，符合題意；

(ⅱ)k﹣2≠0時，得到一個二次函數，

①拋物線與x軸只有一個交點，△＝b2﹣4ac＝(﹣2)2﹣4k(2﹣k)＝4(k﹣1)2，

解得k＝1；

②拋物線與x軸有兩個交點，其中一個交點是(0，0)，

把(0，0)代入函數解析式，易得k＝0；

故答案為：2或0或1．

(2)證明：設關于x的一元二次方程(2﹣k)x2﹣2x+k＝0的兩個實數根分別為x1，x2，

∴，

∴

∴關于x的一元二次方程(2﹣k)x2﹣2x+k＝0必有一個根是1．