Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知，．

求拋物線的解析式；

在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標；如果不存在，請說明理由；

點E時線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時，的面積最大？求出的最大面積及此時E點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，P點的坐標為或或：（3）當E運動到BC的中點時，面積最大為，此時．

【解析】

把，代入列方程組即可．

先求出CD的長，分兩種情形當時，當時分別求解即可．

求出直線BC的解析式，設則，構建二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題．

解：把，代入得，

解得，，

拋物線的解析式為．

存在如圖1中，，，

，，

當時，可得．

當時，可得，

綜上所述，滿足條件的P點的坐標為或或．

如圖2中，

對于拋物線，當時，，解得，

，，

由，得直線BC的解析式為，

設則，

，當時，EF有最大值2，

此時E是BC中點，

當E運動到BC的中點時，面積最大，

最大面積，此時．