Question

【題目】如圖，已知△ABE與△CDE都是等腰直角三角形，∠AEB＝∠DEC＝90°，連接AD，AC，BC，BD，若AD＝AC＝AB，則下列結論：①AE垂直平分CD，②AC平分∠BAD，③△ABD是等邊三角形，④∠BCD的度數為150°，其中正確的個數是（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】D

【解析】

首先證明△AEC≌△BED,得到AC=BD=AB=AD,得到△ABD是等邊三角形，③正確；根據 ABE與 CDE都是等腰直角三角形，得到∠CAB＝∠CAD＝30°∠CAE＝∠EAD＝15°得到①②正確； ABC，CAD為等腰三角形，頂角都為30°，得到∠ACB＝∠ABC=75°，∠ACD＝∠ADC=75°，得出∠BCD的度數為150°④正確

解：∵ ABE與 CDE都是等腰直角三角形

∴AE=BE, DE=CE

∵∠AEB＝∠DEC＝90°

∴∠AEC＝∠DEB

∴△AEC≌△BED

∴AC=BD

∵AD＝AC＝AB

∴AD＝BD＝AB

∴② ABD是等邊三角形正確

∴∠ABD＝∠BAD＝∠ADB=60°

∵ ABE與 CDE都是等腰直角三角形

∴∠EAB＝∠ABE=45°

∴∠CAB＝30°，∠CAE＝∠EAD＝15°

∴AE為∠CAD的角平分線

∵ ABD為等腰三角形

∴①AE垂直平分CD正確

∴∠CAD＝30°

∴②AC平分∠BAD正確

∵ ABC為等腰三角形，頂角∠BAC＝30°

∴∠ACB＝∠ABC=75°

同理∠ACD＝∠ADC=75°

∴④∠BCD的度數為150°正確.

故選D