Question

12．閱讀材料：在直角三角形中有這樣一個性質：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．”已知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC的中線，求證：BC=2AD．
證明：延長AD到E，使DE=AD，連接CE，
∵AD是斜邊BC的中線∴BD=CD
∵∠ADB=∠EDC，AD=DE
∴△ADB≌△EDC（SAS）
∴AB=CE，∠B=∠DCE
∴AB∥CE∴∠BAC+∠ACE=180°
∵∠BAC=90°∴∠ACE=90°
∵AB=CE，∠BAC=∠ECA=90°，AC=CA
∴△ABC≌△CEA（SAS）
∴BC=EA
∵AE=2AD
∴BC=2AD．
可以在你的證明中直接使用上面的性質解決下面的問題：
問題：以△ABC的邊AB、AC為直角邊向外作以A為直角頂點的等腰直角△ABE和△ACD，M為BC的中點，
（1）當∠BAC=90°時，如圖1，寫出線段DE與AM之間的數量關系DE=2AM，并給出證明；
（2）當∠BAC＞90°時，如圖2，寫出線段DE與AM之間的數量關系DE=2AM，并給出證明．

Answer 1

分析 （1）由于△ABE、△ACD都是等腰直角三角形，可證得Rt△ABC≌Rt△AED，則BC=DE，而AM是斜邊BC上的中線，即可得到ED=BC=2AM；
（2）延長BA到F，使得BA=AF，連接FC，易知AM是△BCF的中位線，即CF=2AM，因此只需證得ED=CF即可．由于∠EAF、∠CAD都是直角，減去同一個角∠DAF后，得到∠EAD=∠CAF，而AF=AE、CA=AD，由此可得△ADE≌△ACF，由此得證．

解答 解：（1）DE=2AM，
理由：∵△ABE和△ACD都是等腰直角三角形，
∴∠BAE=∠CAD=∠BAC=∠EAD=90°，且AE=AB，AC=AD，
∴∠BAC=90°，∠EAD=90°，
∴∠BAC=∠EAD，
在△ABC與△AED中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠BAC=∠EAD}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴△EAD≌△BAC，
∴DE=BC；
而AM是Rt△ABC斜邊上的中線，則DE=BC=2AM．
故答案為：DE=2AM；
（2）DE=2AM；
理由如下：
延長BA至F，使得BA=AF；
則AM是△BCF的中位線，CF=2AM．
∵∠BAE=∠EAF=∠CAD=90°，
∴∠EAD=∠FAC=90°-∠DAF，
又∵AE=AF=AB，AD=AC，
在△AED與△AFC中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{∠EAD=∠FAC}\\{AD=AC}\end{array}\right.$
∴△AED≌△AFC，
∴DE=CF，
故DE=2AM．
故答案為：DE=2AM；

點評 此題主要考查了直角三角形的性質、三角形中位線定理以及全等三角形的判定和性質，難度較大．