Question

【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E,F.則下列結論:①AD上任意一點到點C,B的距離相等;②AD上任意一點到邊AB,AC的距離相等;③BD=CD,AD⊥BC;④∠BDE=∠CDF.其中正確的個數為（ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據等腰三角形三線合一的性質可得AD垂直平分BC，再根據線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得AD上任意一點到點C和點B的距離相等，從而判斷出①正確；根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得AD上任意一點到AB，AC的距離相等，從而判斷出②正確；根據等腰三角形三線合一的性質可得③④正確．

∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，

∴AD垂直平分BC，

∴AD上任意一點到點C和點B的距離相等，故①正確；

∵AD是∠BAC的角平分線，

∴AD上任意一點到AB，AC的距離相等，故②正確；

∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，

∴BD=CD=BC，AD⊥BC，故③正確；

∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF，

在Rt△BDE和Rt△CDF中，

，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），

∴∠BDE=∠CDF，故④正確；

綜上所述，結論正確的是①②③④共4個

故選A