Question

（2010•盧灣區二模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-x²+bx+c經過點A（1，3），B（0，1）．
（1）求拋物線的表達式及其頂點坐標；
（2）過點A作x軸的平行線交拋物線于另一點C，
①求△ABC的面積；
②在y軸上取一點P，使△ABP與△ABC相似，求滿足條件的所有P點坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A（1，3），B（0，1），代入，即可得出答案；
（2）①由對稱性得C（4，3），根據三角形面積公式即可求解；
②將直線AC與y軸交點記作D，由，∠CDB為公共角，可得△ABD∽△BCD．從而∠ABD=∠BCD．分1°當∠PAB=∠ABC時，2°當∠PAB=∠BAC時兩種情況討論即可得出答案．
解答：解：（1）將A（1，3），B（0，1），代入，
解得，c=1．
∴拋物線的解析式為．
∴頂點坐標為．

（2）①由對稱性得C（4，3）．
∴S_△ABC=|3-1|•|4-1|=3．
②將直線AC與y軸交點記作D，
∵，∠CDB為公共角，
∴△ABD∽△BCD．
∴∠ABD=∠BCD．
1°當∠PAB=∠ABC時，，
∵，
，AC=3
∴，
∴．
2°當∠PAB=∠BAC時，，
∴，
∴，
∴．
綜上所述滿足條件的P點有，．
點評：本題考查了二次函數綜合題，難度適中，關鍵是掌握分類討論的思想解題．