Question

【題目】已知：二次函數的圖象與軸交于兩點，其中點，與軸負半軸交于點，起對稱軸是直線．

（1）求二次函數的解析式；

（2）圓經過點的外接圓，點是延長線上一點，的平分線交圓于點，連接、，求的面積；

（3）在（2）的條件下，二次函數的圖象上是否存在點，使得？如果存在，請求出所有符合條件的點坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，，

【解析】

（1）根據拋物線的對稱性，可以求出點B的坐標，再用待定系數法求解即可；

（2）根據以及圓的相關性質，可知△ＡＢＤ為等腰直角三角形，從而得出與的數量關系，列式求解即可；

（3）使得的點存在兩種情況，利用相似導出線段之間的比值，再用直線和拋物線的解析式聯立求得相關點的坐標．

（1）∵點，對稱軸為

∴

將、、代入中

解得

∴拋物線的解析式為：

（2）∵，，

∴，，，

∴

又∵，

∴，

∴，

∴

∴為圓的直徑，點坐標為，

∴

又∵平分，

∴，

∴，為等腰直角三角形．

連接，則，，

∴，點坐標為

設與軸交于點，

∵，

∴，

∴

作軸于點，

∵，

∴，

∴；

（3）拋物線上存在點，使得．分兩種情況討論：

①過點作直線，交軸于．

∵，

∴，

又∵，

∴，直線與拋物線在點右側的交點即為點．

∵，，

∴，

∴

∵

∴，．

設直線的解析式為

則有，

解得，

直線的解析式為

∴

解得，（舍）

∴

②過點作，交軸于點．

∵，

∴

即直線與拋物線在點右側的交點即為點

又∵，

∴

∴

∴

∴

設直線的解析式為

則有，解得，

∴直線的解析式為

∴，解得，（舍）

∴

∴符合條件的點有兩個：，．