Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E是AD邊上的一點，AF⊥BE于F，CG⊥BE于G．

（1）若∠FAE=20°，求∠DCG的度數；

（2）猜想：AF，FG，CG三者之間的數量關系，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）70°；（2）CG=AF+FG，理由見解析

【解析】（1）由正方形的性質求得∠ABC=∠D=90°，根據三角形的外角定理求得∠FED，再根據四邊形內角和求得結論；

（2）由∠ABF+∠CBG=90°，∠CBG+∠BCG=90°，證得∠ABF=∠BCG，再證得在ABF≌△BCG，AF=BG，由全等三角形的性質證得BF=CG，根據線段的和差和等量代換即可求得結論．

（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴ ∠ABC=∠D=90°，

∵AF⊥BE，CG⊥BE，

∴∠AFE=∠CGE=90°，

∵∠FAE=20°，

∴∠FED=∠FAE+∠AFE=20°+90°=110°，

∴∠DCG=360°-∠D-∠FED-∠CGE=360°-90°-110°-90°=70°；

（2）猜想：CG=AF+FG，

證明：∵∠ABF+∠CBG=90°，∠CBG+∠BCG=90°，

∴∠ABF=∠BCG，

在△ABF和△BCG中

∴ABF≌△BCG（AAS），

∴AF=BG，BF=CG，

∴CG=BF=BG+FG=AF+FG．