Question

【題目】問題探究

(1)如圖1,已知銳角△ABC中,點D在BC邊上,當線段AD最短時,請你在圖中畫出點D的位置.

圖1

(2)若一個四邊形的四個頂點分別在一個三角形的三條邊上;則稱這個四邊形為該三角形的內接四邊形.

如圖2,在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,∠B=90°.矩形BEFG是△ABC的內接矩形,若EF=2,則矩形BEFG的面積為_________

如圖3,在△ABC中,AB=,BC=8,∠B=45°,矩形DEFG是△ABC的一個內接矩形且D、E在邊BC上.若EF=2,求矩形DEFG的面積;

圖2 圖3

問題解決:

(3)如圖4,△ABC是一塊三角形木板余料,AB=6,BC=8,∠B=30°,木匠師傅想利用它裁下一塊矩形DEFG木塊,矩形DEFG是△ABC的一個內接矩形且D、E在邊BC上,請在圖4中畫出對角線DF最短的矩形DEFG,請說明理由,并求出此時DF的長度.

圖4

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；；（3）.

【解析】

（1）根據點到直線的距離，垂線段最短可得：過點A作AD⊥BC交BC于點D，則線段AD即為所求；

（2）①由矩形性質可得：EF//AB,則△ABC∽△FEC，所以，即，解得EC＝，從而求得BE＝8－＝，從而求得S矩形BEFG的面積；

②過點A作AH⊥BC于點H，由∠B=45°，AB＝可得：BH＝AH＝6，則CH＝BC－BH＝8－6＝2，由矩形性質可得：EF＝DG＝2，EF//AH//DG，則△BDG∽△ABH，△ACH∽FCE，則，從而求得BD＝2，CE＝，從而求得DE＝BC－BD－CE＝8－2－＝，從而求得矩形BEFG的面積；

問題解決:

(3) 過點A作AH⊥BC于點H，由∠B=30°，AB＝可得：AH＝3，BH＝3，則CH＝BC－BH＝8－3，設EF＝x,由矩形性質可得：EF＝DG＝x，EF//AH//DG，則△BDG∽△ABH，△ACH∽FCE，則從而求得BD＝,CE＝，則DF＝BC－BD－CE＝8－，又由DF＝可得，則求DF最小值即轉化為求的最小值.

（1）如圖所示：過點A作AD⊥BC交BC于點D，則線段AD即為所求；

（2）①∵四邊形BEFG是矩形，

∴EF//AB,

∴△ABC∽△FEC，

∴，

又∵EF＝2，AB＝6，BC＝8，

∴，解得EC＝，

又∵BE＝BC－EC，

∴BE＝8－＝，

∴S矩形BEFG＝；

②過點A作AH⊥BC于點H，如圖所示：

∵∠B=45°，AB＝

∴BH＝AH＝6，

又∵BC＝8，

∴CH＝BC－BH＝8－6＝2，

∵四邊形BEFG是矩形，

∴EF＝DG＝2，EF//AH//DG，

∴△BDG∽△ABH，△ACH∽FCE，

∴，

又∵AH＝6，DG＝2，BH＝6，EF＝2，

∴BD＝2，CE＝，

又∵DE＝BC－BD－CE

∴DE＝8－2－＝，

∴矩形BEFG的面積為：;

(3) 過點A作AH⊥BC于點H，如圖所示：

∵∠B=30°，AB＝，

∴AH＝3，BH＝3，

又∵BC＝8，

∴CH＝BC－BH＝8－3，

設EF＝x,

四邊形BEFG是矩形，

∴EF＝DG＝x，EF//AH//DG，

∴△BDG∽△ABH，△ACH∽FCE，

∴，

即為：

∴BD＝,CE＝，

∴DE＝BC－BD－CE＝8－－=＝8－，

又∵DF＝

∴當x=時，DF有最小值為＝.