Question

【題目】如圖，在矩形中，，，點、分別在邊和上，沿折疊四邊形，使點、分別落在、處，得四邊形，點在上，過點作于點，連接，則下列結論：①；②；

③；④若點是的中點，則，其中，正確結論的序號是_______.（把所有正確結論的序號都在填在橫線上）

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

由折疊可知∠MNB1=∠BNM，MN⊥BB1，再根據同角的余角相等的性質和等量關系即可判定①正確；根據AA可證△MEN∽△BCB1，可判定②正確；根據相似三角形的性質和等量關系可得，為定值，可判定③正確；根據相似三角形的性質和勾股定理可得AM=BE=BN-NE=，可判定④不正確；從而求解．

解：由折疊可知∠MNB1=∠BNM，MN⊥BB1，
∴∠BNM+∠B1BN=90°，
∵∠ABB1+∠B1BN=90°，
∴∠BNM=∠ABB1，
∴∠MNB1=∠ABB1，故①正確；
∵ME⊥BC，
∴∠MNE+∠NME=90°，
由折疊的性質可得MN⊥BB1，
∴∠MNE+∠B1BN=90°，
∴∠NME=∠BB1N，
∴△MEN∽△BCB1，
故②正確；
由②可知，

∵ME=AB=2，BC=4，

∴，為定值，故③正確；
∵△MEN∽△BCB1，

∴，

∴NE=B1C，

∵點是的中點，
∴B1C=DC，

則NE=DC=×2=，

設BN=x，則NC=4-x，B1N=x，
在Rt△B1NC中，由勾股定理可得x2=（4-x）2+12，
解得x=，

∴AM=BE=BN-NE=，故④不正確．
故答案為：①②③．