Question

【題目】在等邊中，點D在線段AC上，E為BC延長線上一點，且CD = CE，連接BD，連接AE．

(1)如圖1，若，求線段AD的長；

(2)如圖2，若F是線段BD的中點，連接AF，若，求證：．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見解析

【解析】

（1）過點B作BM⊥AD于點G,根據等邊三角形的性質，求出AM=3，BM=在Rt△AMB中，根據，求出MD的長度，即可求出線段AD的長；

（2）延長AF至點N使得FN=AF，連接BN，先證明出△ADF≌△NBF，得出DA=BN，∠DAF=∠N，進而得出∠N=∠E，再用AAS判斷出△ABN≌△ACE即可得出結論；

(1) 過點B作BM⊥AD于點G

∵△ABC是等邊三角形,

∴AM=3，BM=

在Rt△AMB中，

∴MD=

∴AD=AM+MD=

(2) 延長AF至點N使得FN=AF，連接BN

∵ F是BD的中點

∴BF=DF

在△ADF和△NBF中：

,

∴△ADF≌△NBF（SAS），

∴DA=BN，∠DAF=∠N

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°

∵∠EAF=60°，

∴∠BAF=∠DAE

∵∠EAF=∠EAC+∠DAF=60°，∠ACD=∠EAC+∠E=60°，

∴∠DAF=∠E，

∴∠N=∠E

在△ABN和△ACE中：

,

∴△ABN≌△ACE（AAS），∴BN=CE，∴AD=DC，∴BD⊥AC，∴BD=