Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)一點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線，若與坐標(biāo)軸圍成矩形的周長(zhǎng)與面積相等，則這個(gè)點(diǎn)叫做和諧點(diǎn)．例如，圖中過(guò)點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線，與坐標(biāo)軸圍成矩形OAPB的周長(zhǎng)與面積相等，則點(diǎn)P是和諧點(diǎn)．

（1）判斷點(diǎn)M（1，2），N（4，4）是否為和諧點(diǎn)，并說(shuō)明理由；

（2）若和諧點(diǎn)P（a，3）在直線y＝－x＋b（b為常數(shù)）上，求a，b的值；

（3）若直線y＝2x＋12上存在和諧點(diǎn)，寫出此點(diǎn)的坐標(biāo)：（ ）.

Answer 1

【答案】（1）M不是和諧點(diǎn)，N是和諧點(diǎn)；（2）a=6，b=9或a=－6，b=－3；（3） 或（-3，6）或（-4，4）.

【解析】試題分析：（1）利用和諧點(diǎn)的定義直接判斷得出即可；

（2）利用和諧點(diǎn)的定義，得出3×|a|=2×（|a|＋3），然后通過(guò)分類討論即可得；

（3）分三種情況：點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第二象限，點(diǎn)在第三象限，按定義進(jìn)行計(jì)算即可得.

試題解析：（1）M不是和諧點(diǎn)，N是和諧點(diǎn).根據(jù)題意，對(duì)于M而言，面積為1×2=2，周長(zhǎng)為2×（1＋2）=6，所以M不是和諧點(diǎn)，對(duì)于N而言，面積為4×4=16，周長(zhǎng)為2×（4＋4）=16，所以N是和諧點(diǎn).

（2）因?yàn)镻（a，3）是和諧點(diǎn)，所以根據(jù)題意得3×|a|=2×（|a|＋3）.

①當(dāng)a＞0時(shí)，3a=2（a＋3），3a=2a＋6，解得a=6，將（6，3）代入y=－x＋b得3=－6＋b，解得b=9.

②當(dāng)a＜0時(shí)，－3a=2（－a＋3），－3a=－2a＋6，解得a=－6，將（－6，3）代入y=－x＋b得3=6＋b，解得b=－3.

所以a=6，b=9或a=－6，b=－3.

（3） 或（-3，6）或（-4，4）.