Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=mx2﹣7mx+3與y軸交于點A，與x軸分別交于點B（1，0）．點C（x2，0），過點A作直線AD∥x軸，與拋物線交于點D，在x軸上有一動點E（t，0），過點E作直線l∥y軸，與拋物線交于點P，與直線AD交于點Q．

（1）求拋物線的解析式及點C的坐標；

（2）當0＜t≤7時，求△APC面積的最大值；

（3）當t＞1時，是否存在點P，使以A、P、Q為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）當x=1時，m﹣7m+3=1；（2）當t=7時，S△APC最大=，當t=3時，S△APC最大=；

（3）存在，t=或或13．

【解析】分析：

（1）先將點B坐標代入拋物線解析式求出m，即可得出結論；

（2）分兩種情況，利用面積和或差得出函數關系式，即可得出結論；

（3）分兩種情況，利用相似三角形的性質得出比例式建立方程求解即可得出結論．

詳解：（1）當x=1時，m﹣7m+3=1；

∴m=，

∴拋物線解析式為y=x2﹣x+3，

當y=0時，0=x2﹣x+3，

∴x=1或x=6，

∴C（6，0）；

（2）由題意知，點P與點C不能重合，

∴t≠6，

∵A（0，3），C（6，0），

∴直線AC的解析式為y=﹣+3，

∵E（t，0），

設直線AC與l的交點為F，

∴F（t，﹣t+3），

當0＜t＜6時，FP=﹣t2+3t，

∴S△APC=S△APF+S△PFC=﹣（t﹣3）2+，

當t=3時，S△APC最大=，

當6＜t≤7時，S△APC=S△APF﹣S△PFC=（t﹣3）2﹣，

當t=7時，S△APC最大=，

∴當t=3時，S△APC最大=；

（3）存在，

理由：在△AOB中，OA=3，OB=1，∠AOB=90°，P（t， t2﹣t+3），

∵點P和點D不能重合，

∴t≠7，

當1＜t＜7時，QA=t，QP=﹣t2+t，

若△AOB與△AQP相似，

∴或，

∴或，

∴t1=0（舍），t2=或t3=0（舍），t4=1（舍）

當t＞7時，QA=t，PQ=t2﹣t，

若△AOP與△AOB相似，

∴或，

∴或，

∴t5=0（舍）或t=或t7=0（舍）t8=13，

綜上述，t=或或13．