Question

【題目】在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交線段BC于點E，交線段DC的延長線于點F，以EC、CF為鄰邊作平行四邊形ECFG．

（1）如圖1，證明平行四邊形ECFG為菱形；

（2）如圖2，若∠ABC=90°，M是EF的中點，求∠BDM的度數；

（3）如圖3，若∠ABC=120°，請直接寫出∠BDG的度數．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）∠BDM的度數為45°；

（3）∠BDG的度數為60°.

【解析】試題分析：（1）平行四邊形的性質可得AD∥BC，AB∥CD，再根據平行線的性質證明∠CEF=∠CFE，根據等角對等邊可得CE=CF，再有條件四邊形ECFG是平行四邊形，可得四邊形ECFG為菱形；

（2）首先證明四邊形ECFG為正方形，再證明△BME≌△DMC可得DM=BM，∠DMC=∠BME，再根據∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°可得到∠BDM的度數；

（3）延長AB、FG交于H，連接HD，求證平行四邊形AHFD為菱形，得出△ADH，△DHF為全等的等邊三角形，證明△BHD≌△GFD，即可得出答案．

試題解析：（1）∵AF平分∠BAD，

∴∠BAF=∠DAF，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE，

∴∠CEF=∠CFE，

∴CE=CF，

又∵四邊形ECFG是平行四邊形，

∴四邊形ECFG為菱形．

（2）如圖，連接BM，MC，

∵∠ABC=90°，四邊形ABCD是平行四邊形，

∴四邊形ABCD是矩形，

又由（1）可知四邊形ECFG為菱形，

∠ECF=90°，

∴四邊形ECFG為正方形．

∵∠BAF=∠DAF，

∴BE=AB=DC，

∵M為EF中點，

∴∠CEM=∠ECM=45°，

∴∠BEM=∠DCM=135°，

在△BME和△DMC中，

∵

∴△BME≌△DMC（SAS），

∴MB=MD，

∠DMC=∠BME．

∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°，

∴△BMD是等腰直角三角形，

∴∠BDM=45°；

（3）∠BDG=60°，

延長AB、FG交于H，連接HD．

∵AD∥GF，AB∥DF，

∴四邊形AHFD為平行四邊形，

∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD，

∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°，

∴△DAF為等腰三角形，

∴AD=DF，

∴平行四邊形AHFD為菱形，

∴△ADH，△DHF為全等的等邊三角形，

∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°，

∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，

∴BH=GF，

在△BHD與△GFD中，

∵，

∴△BHD≌△GFD（SAS），

∴∠BDH=∠GDF

∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°．