Question

【題目】已知，，()．

（1）觀察猜想

如圖1，當時，請直接寫出線段與的數量關系：　　　　；位置關系：　　　　；

（2）類比探究

如圖2，已知，分別是，，，的中點，寫出與的數量關系和位置關系，并說明理由；

（3）解決問題

如圖，已知：，，分別是，，，的中點，將繞點旋轉，直接寫出四邊形的面積的范圍(用含的三角函數式子表示)．

Answer 1

【答案】（1），；（2），，理由見解析；（3）．

【解析】

（1）利用三角形全等三角形或圖形旋轉的性質問題可解；

（2）在（1）中結論的基礎上，利用三角形中位線的性質證明四邊形是菱形，證明，利用銳角三角函數的知識可證明；

（3）在（2）的基礎上，證明四邊形是菱形，利用中位線性質證明到菱形的邊GF是CD的一半，通過旋轉的過程得到CD的取值范圍，再利用三角函數的知識，表示菱形面積，則問題可解．

（1）如圖

∵

∴

∵，，

∴

∴，=

∵

∴

故答案為：，

（2），．

理由如下：

連接，，

交于，

∵，

∴

∵，，

∴，

∴，，

∴，

連接，

∵分別是的中點，

∴，，，，

，，

∴，，

∴四邊形是菱形，

∴

∵，

∴．

（3）

如圖，

由（2）同理可知，四邊形是菱形，，

將繞點旋轉過程中，

則菱形的邊長GF范圍為

過F做 于K

菱形的面積為

寫出四邊形的面積的范圍為：