Question

【題目】某校初二數學興趣小組活動時，碰到這樣一道題：

“已知正方形AD，點E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，若，則EG=FH”．

經過思考，大家給出了以下兩個方案：

（甲)過點A作AM∥HF交BC于點M，過點B作BN∥EG交CD于點N；

（乙)過點A作AM∥HF交BC于點M，作AN∥EG交CD的延長線于點N；

（1）對小杰遇到的問題，請在甲、乙兩個方案中任選一個，加以證明(如圖1)

（2）如果把條件中的“”改為“EG與FH的夾角為45°”，并假設正方形ABCD的邊長為1，FH的長為（如圖2），試求EG的長度．

Answer 1

【答案】(1) 證明見解析；（2）．

【解析】

（1）無論選甲還是選乙都是通過構建全等三角形來求解．甲中，通過證△AMB≌△BNC來得出所求的結論．乙中，通過證△AMB≌△ADN來得出結論；

（2）按（1）的思路也要通過構建全等三角形來求解，可過點A作AM∥HF交BC于點M，過點A作AN∥EG交CD于點N，將△AND繞點A旋轉到△APB，不難得出△APM和△ANM全等，那么可得出PM=MN，而MB的長可在直角三角形ABM中根據AB和AM（即HF的長）求出．如果設DN=x，那么NM=PM=BM+x，MC=BC-BM=1-BM，因此可在直角三角形MNC中用勾股定理求出DN的長，進而可在直角三角形AND中求出AN即EG的長．

（1）選甲：證明：過點A作AM∥HF交BC于點M，過點B作BN∥EG交CD于點N

∴AM=HF，BN=EG

∵正方形ABCD，

∴AB=BC，∠ABC=∠BCN=90°，

∵EG⊥FH

∴AM⊥BN

∴∠BAM+∠ABN=90°

∵∠CBN+∠ABN=90°

∴∠BAM=∠CBN

在△ABM和△CBN中，∠BAM=∠CBN，AB=BC，∠ABM=∠BCN

∴△ABM≌△CBN，

∴AM=BN

即EG=FH；

選乙：證明：過點A作AM∥HF交BC于點M，作AN∥EG交CD的延長線于點N

∴AM=HF，AN=EG

∵正方形ABCD，

∴AB=AD，∠BAD=∠ADN=90°，

∵EG⊥FH

∴∠NAM=90°

∴∠BAM=∠DAN

在△ABM和△ADN中，∠BAM=∠DAN，AB=AD，∠ABM=∠ADN

∴△ABM≌△ADN，

∴AM=AN

即EG=FH；

（2）解：過點A作AM∥HF交BC于點M，過點A作AN∥EG交CD于點N，

∵AB=1，AM=FH=

∴在Rt△ABM中，BM=

將△AND繞點A旋轉到△APB，

∵EG與FH的夾角為45°，

∴∠MAN=45°，

∴∠DAN+∠MAB=45°，

即∠PAM=∠MAN=45°，

從而△APM≌△ANM，

∴PM=NM，

設DN=x，則NC=1-x，NM=PM=+x

在Rt△CMN中，（+x）2=+（1-x）2，

解得x=，

∴EG=AN=，

答：EG的長為．