Question

（2013•新余模擬）已知拋物線y=x²-2mx+3m²+2m．
（1）若拋物線經過原點，求m的值及頂點坐標，并判斷拋物線頂點是否在第三象限的平分線所在的直線上；
（2）是否無論m取任何實數值，拋物線頂點一定不在第四象限？說明理由；當實數m變化時，列出拋物線頂點的縱、橫坐標之間的函數關系式，并求出該函數的最小函數值．

Answer 1

分析：（1）先根據二次函數的頂點坐標公式用m表示出其頂點坐標，由拋物線經過原點可求出m的值，進而得出其頂點坐標，再判斷出其頂點坐標是否在y=x上即可；
（2）分別根據當m＞0時，m=0，m＜0時頂點的縱坐標判斷出函數圖象頂點所在的象限即可，設頂點橫坐標為m，縱坐標為n，則n=2m²+2m，再把此式化為頂點式的形式，進而可得出結論．

解答：解：∵y=x²-2mx+3m²+2m=（x-m）²+2m²+2m，
∴拋物線頂點為（m，2m²+2m），
（1）將（0，0）代入拋物線解析式中解得：m=0或m=-

2

3

，
當m=0時，頂點坐標為（0，0）
當m=-

2

3

時，頂點坐標為（-

2

3

，-

4

9

），
∵第三象限的平分線所在的直線為y=x，
∴（0，0）在該直線上，（-

2

3

，-

4

9

）不在該直線上；

（2）∵拋物線頂點為（m，2m²+2m），
∴①當m＞0時，2m²+2m＞0，此時拋物線頂點在第一象限；
②當m=0時，2m²+2m=0，此時拋物線的頂點在原點；
③當m＜0時，若2m²+2m＞0，則頂點坐標在第二象限；若2m²+2m＜0，則頂點坐標在第三象限，
∴m無論為何值拋物線的頂點一定不在第四象限；
設頂點橫坐標為m，縱坐標為n，則n=2m²+2m，
∵n=2m²+2m=2（m+

1

2

）²-

1

2

∴當m=-

1

2

時，n有最小值-

1

2

．

點評：本題考查的是二次函數的性質及二次函數的最值，熟知二次函數的頂點坐標公式是解答此題的關鍵．