Question

（2013•新余模擬）如圖，△ABC是一個直角三角形，其中∠C=90゜，∠A=30°，BC=6；O為AB上一點，且OB=3，⊙O是一個以O為圓心、OB為半徑的圓；現有另一半徑為3

3

-3的⊙D以每秒為1的速度沿B→A→C→B運動，設時間為t，當⊙D與⊙O外切時，t的值為

3

3

+3或12+3

3

或12+6

3

．

Answer 1

分析：分別從①在B→A的過程中，②在A→C的過程中，③當C與D重合時去分析求解，利用含30°角的直角三角形的性質與圓與圓的外切的性質，即可求得答案．

解答：解：①在B→A的過程中，當OD=3+3

3

-3=3

3

時，⊙D與⊙O外切，此時BD=OB+OD=3+3

3

，
即t=3+3

3

；
②如圖1，在A→C的過程中，過點C作CH⊥AB于H，連接OD，OC，
∵∠C=90゜，∠A=30°，BC=6，
∴AB=2BC=12，AC=

BC

tan30°

=6

3

，
∴∠B=60°，
∴BH=BC•cos∠B=6×

1

2

=3，CH=BC•sin∠B=3

3

，
∵OB=3，
∴O與H重合，
即OC⊥AB，OC=3

3

，
∴∠BOC=90°-∠B=60°，
∵OD=3

3

，
∴OC=OD，
∴△OCD是等邊三角形，
∴CD=OD=3

3

，
∴AB+AD=AB+AC-CD=12+6

3

-3

3

=12+3

3

，
即t=12+3

3

；
③∵由②得，OC=3

3

=OD，
∴當C與D重合時，⊙D與⊙O外切；
即t=12+6

3

；
綜上，當⊙D與⊙O外切時，t的值為3+3

3

或12+3

3

或12+6

3

．
故答案為：3+3

3

或12+3

3

或12+6

3

．

點評：此題考查了圓與圓的位置關系，直角三角形的性質以及三角函數的性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想與分類討論思想的應用．