Question

【題目】直角三角板ABC中，∠A=30°，BC＝1.將其繞直角頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角（且），得到Rt△.

（1）如圖，當(dāng)邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；

（2）在三角板旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，邊與AB所在直線(xiàn)交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn) D作DE∥交邊于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)BE.

①當(dāng)時(shí)，設(shè)AD=，BE=，求與之間的函數(shù)解析式及自變量 的取值范圍；

②當(dāng)時(shí)，求AD的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）＝;（2）① （0﹤﹤2）;②AD=1或.

【解析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出∠α=∠B′CB=60°；
（2）①當(dāng)0°＜α＜90°時(shí)，點(diǎn)D在A(yíng)B邊上（如圖）．根據(jù)平行線(xiàn)DE∥A'B'分線(xiàn)段成比例知、及由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE由此證明△CAD∽△CBE；根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例、直角三角形的性質(zhì)及∠A=30°求得y=x（0＜x＜2）；
②先求得△ABC的面積，再由△CAD∽△CBE，求得BE，分情況討論：當(dāng)點(diǎn)D在A(yíng)B邊上時(shí)，AD=x，BD=AB-AD=2-x；當(dāng)點(diǎn)D在A(yíng)B的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，AD=x，BD=x-2．

解：（1）在Rt△中，∵∠A=30°，∴．

由旋轉(zhuǎn)可知：，，

∴△為等邊三角形．

∴＝．

（2）① 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D在AB邊上（如圖）.

∵ DE∥，∴ .

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，CA =，CB=， ∠ACD=∠BCE.

∴ ∴ .

∴ △CAD∽△CBE.

∴.∵∠A=30° ∴ .

∴（0﹤﹤2）

②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D在AB邊上

AD=x，，∠DBE=90°.

此時(shí)，.

當(dāng)S =時(shí)，.整理，得 .

解得 ，即AD=1.

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上（如圖）.

仍設(shè)AD=x，則，∠DBE=90°.

.

當(dāng)S =時(shí)，.

整理，得 .

解得 ，（負(fù)值，舍去）.

即.

綜上所述：AD=1或.

“點(diǎn)睛”本題主要考查旋轉(zhuǎn)、全等三角形、解直角三角形、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例等知識(shí)．解決本題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形，分類(lèi)討論．