Question

【題目】如圖，已知E是正方形ABCD的邊CD上一點，BF⊥AE于F．

（1）求證：△ABF∽△EAD；

（2）當AD=2，=時，求AF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；

【解析】

（1）由正方形的性質，結合BF⊥AE可求得∠ABF=∠DAE，則可證得結論；
（2）利用正方形的性質，結合已知條件可求得DE的長，利用勾股定理可求得AE的長，再利用相似三角形的性質可求得AF的長．

（1）證明：

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠DAB=∠D=90°，

∵BF⊥AE，

∴∠AFB=∠D=90°，

∴∠ABF+∠BAF=∠BAF+∠DAE=90°，

∴∠ABF=∠DAE，

∴△ABF∽△EAD；

（2）解：

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AD=BC=AB=2，

∵=，

∴=，解得DE=，

在Rt△ADE中，由勾股定理可得AE===5，

∵△ABF∽△EAD，

∴=，即=，

∴AF=2．