Question

【題目】如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，點E在對角線AC上，且滿足∠ADE=∠BAC．

（1）求證：CDAE=DEBC；

（2）以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交邊BC于點F，聯結AF．求證：AF2=CECA．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）根據相似三角形的判定得出△ADE∽△CAB，再利用相似三角形的性質證明即可；
（2）根據相似三角形的判定得出△CDE∽△CAD，再利用相似三角形的性質證明即可．

試題解析：

證明（1）∵AD∥BC，

∴∠DAE=∠ACB，

∵∠ADE=∠BAC，

∴△ADE∽△CAB，

∴，

∴ABAE=DEBC，

∵AB=CD，

∴CDAE=DEBC；

（2）∵AD∥BC，AB=CD，

∴∠ADC=∠DAB，

∵∠ADE=∠BAC，

又∵∠ADC=∠ADE+∠CDE，∠DAB=∠BAC+∠CAD，

∴∠CDE=∠CAD，

∴△CDE∽△CAD，

∴ ，

∴CD2=CECA，

由題意，得AB=AF，AB=CD，

∴AF=CD，

∴AF2=CECA．