Question

【題目】綜合與實踐

如圖，為等腰直角三角形，，點為斜邊的中點，是直角三角形，．保持不動，將沿射線向左平移，平移過程中點始終在射線上，且保持直線于點，直線于點．

（1）如圖1，當點與點重合時，與的數量關系是__________．

（2）如圖2，當點在線段上時，猜想與有怎樣的數量關系與位置關系，并對你的猜想結果給予證明；

（3）如圖3，當點在的延長線上時，連接，若，則的長為__________．

Answer 1

【答案】（1）；（2），，見解析；（3）

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質證明OA=OC，∠A=∠C,然后證明 ≌即可得到OE=OF；

（2）根據等腰直角三角形的性質證明OA=OB，∠A=∠OBF，利用矩形的判定證明PEBF是矩形，從而得到BF=AE，于是可證明 ≌，即可得到，；

（3）同（2）類似，證明，，然后根據勾股定理即可求出EF的長.

解：（1）=，理由如下：

∵為等腰直角三角形，，點為斜邊的中點，

∴OA=OC，∠A=∠C,

∵，，

∴,

∴ ≌,

∴.

故答案是：.

（2）， ，理由如下：

如圖2，連接OB，

∵為等腰直角三角形，點為斜邊的中點，

∴OA=OB，∠A=∠OBF=, ∠AOB=，

∵，

∴∠A=∠APE=，

∴AE=PE，

∵，，，

∴PEBF是矩形，

∴BF=PE，

∴BF=AE，

在 和中，

，

∴ ≌,

∴，，

∴,

∴.

故答案是：，.

（3）如圖3，連接EF、OB，

∵為等腰直角三角形，點為斜邊的中點，

∴OA=OB，∠BAO=∠OBC=, ∠AOB=，

∴∠EAO=∠OBF=,

∵，

∴∠APE=∠PAE=，

∴AE=PE，

∵，，，

∴PEBF是矩形，

∴BF=PE，

∴BF=AE，

在 和中，

，

∴ ≌,

∴，，

∴,

∴.

∴是等腰直角三角形，

∵OE=1，

∴EF=.

故答案是：.