Question

【題目】如圖，頂點為M的拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0）兩點，與y軸交于點C

（1）求拋物線的表達式；

（2）在直線AC的上方的拋物線上，有一點P（不與點M重合），使△ACP的面積等于△ACM的面積，請求出點P的坐標；

（3）在y軸上是否存在一點Q，使得△QAM為直角三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標：若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）點P的坐標為：（2，3）；（3）存在，點Q的坐標為：（0，1）或（0，3）或（0，）或（0，﹣）

【解析】

（1）拋物線的表達式為：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即可求解；

（2）過點M作直線m∥AC，在AC下方作等距離的直線n，直線n與拋物線交點即為點P，即可求解；

（3）分AM時斜邊、AQ是斜邊、MQ是斜邊三種情況，分別求解即可．

解：（1）拋物線的表達式為：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），

故﹣3a＝1，解得：a＝﹣1，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+2x+3；

（2）過點M作直線m∥AC，直線m與拋物線交點即為點P，

設直線m的表達式為：y＝﹣x+b，

點M（1，4），則直線m的表達式為：y＝﹣x+5，

聯立方程組，

解得：x＝1（舍去）或2；

故點P的坐標為：（2，3）；

（3）設點Q的坐標為：（0，m），而點A、M的坐標分別為：（3，0）、（1，4）；

則AM2＝20，AQ2＝9+m2，MQ2＝（m﹣4）2+1＝m2﹣8m+17；

當AM時斜邊時，則20＝9+m2+m2﹣8m+17，解得：m＝1或3；

當AQ是斜邊時，則9+m2=20+ m2﹣8m+17，解得m＝；

當MQ是斜邊時，則m2﹣8m+17=20+9+m2，解得m＝﹣，

綜上，點Q的坐標為：（0，1）或（0，3）或（0，）或（0，﹣）