Question

【題目】如圖所示，矩形A′BC′O′是矩形OABC(邊OA在x軸正半軸上，邊OC在y軸正半軸上)繞點B逆時針旋轉得到的．點O′在x軸的正半軸上，點B的坐標為(1，3)．

(1)如果二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0)的圖象經過O，O′兩點，且圖象頂點M的縱坐標為－l，求這個二次函數的解析式；

(2)在(1)中求出的二次函數圖象對稱軸的右側，是否存在點P，使得△POM為直角三角形?若存在，求出點P的坐標和△POM的面積；若不存在，請說明理由；

(3)求邊C′O′所在直線的解析式．

Answer 1

【答案】(1) y＝x2－2x(2)1(3)y=

【解析】分析:(1)連接BO,B則B0=B,求出M點坐標,列出方程組求出未知數的值,進而求出二次函數的解析式;(2)設存在滿足題設條件的點P(x,y),連接OM,PM,OP,過P作PN⊥x軸,求出P點坐標和△POM的面積.(3)已知 (2,0),點D的橫坐標為1,由相似關系求其縱坐標,用待定系數法求解析式.

本題解析：(1)如圖2－83所示，連接BO，BO′，則BO=BO′．∵BA⊥OO′，∴AO＝AO′．∵B(1，3)，∴O′(2，0)，M(1，－1)，∴解得∴所求二次函數的解析式為y＝x2－2x．

(2)假設存在滿足題設條件的點P(x，y)．連接OM，PM，OP，過P作PN⊥x軸于N，則∠POM＝90°．∵M(1，－1)，A(1，0)，AM=OA，∴∠NOA＝45°，∴∠PON=45°，∴ON=NP，即x＝y．∵P(x，y)在二次函數y=x2－2x的圖象上，∴x＝x2－2x，解得x＝0或x＝3．∵P(x，y)在對稱軸的右側，∴x＞1，∴x=3，y=3，即P(3，3)是所求的點．連接MO′，顯然△OMO′為等腰直角三角形，∴點O′(2，0)也是滿足條件的點，∴滿足條件的點是P(2，0)或P(3，3)，∴OP=3，OM=，∴S△POM=OP·OM=3或S△POM＝OM·O′M=1．

(3)設AB與C′O′的交點為D(1，y)，顯然Rt△DAO′≌Rt△DC′B．在Rt△DAO′中，AO′2＋AD2＝O′D2，即1＋y2＝(3－y)2，解得y=，∴D(1， )．設邊C′O′所在直線的解析式為y＝kx＋b，則解得∴所求直線的解析式為y=