Question

【題目】已知在四邊形中，∠A=∠C=90°．

（1）如圖1，若BE平分∠ABC，DF平分∠ADC的鄰補角，請寫出BE與DF的位置關系，并證明．

（2）如圖2，若BF、DE分別平分∠ABC、∠ADC的鄰補角，判斷DE與BF位置關系并證明．

（3）如圖3，若BE、DE分別五等分∠ABC、∠ADC的鄰補角（即∠CDE=，∠CBE=），則∠E= ．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）54°

【解析】分析：（1）延長BE、FD交于G．由四邊形ABCD內角和為360°及鄰補角定義，可得到∠ABC=∠CDN．由角平分線性質得到∠ABE=∠FDN，進一步得到∠ABE=∠GDE，由三角形內角和定理可得結論．

（2）連接DB．由四邊形ABCD內角和為360°及鄰補角定義，可得到∠MBC+∠CDN=180°．由角平分線性質得到∠CBF+∠CDE=90°，進一步得到∠EDB+∠DBF=180°，由平行線的判定可得結論．

（3）延長DC交BE于H．先求出∠CDE+∠CBE，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求解即可．

詳解： （1） BE⊥DF ．證明如下：

延長BE、FD交于G．在四邊形ABCD中，∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∠A=∠C=90°，∴∠ABC+∠ADC=180°．

又∵∠ADC+∠CDN=180°，∴∠ABC=∠CDN．

∵BE平分∠ABC，DF平分∠CDN，∴∠ABE=∠ABC，∠FDN=∠CDN，∴∠ABE=∠FDN．

又∵∠FDN=∠GDE，∴∠ABE=∠GDE．

又∵∠AEB=∠GED，∴∠A=∠G=90°，∴BE⊥DF．

（2）DE∥BF．證明如下：

連接DB．∵∠ABC+∠MBC=180°，∠ADC+∠CDN=180°．

又∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠MBC+∠CDN=180°．

∵BF、DE平分∠ABC、∠ADC的鄰補角，∴∠CBF=∠MBC，∠CDE=∠CDN，∴∠CBF+∠CDE=90°．

在Rt△BDC中，∵∠CDB+∠DBC=90°，∴∠CDB+∠DBC+∠CBF+∠CDE=180°，∴∠EDB+∠DBF=180°，∴DE∥BF．

（3）延長DC交BE于H．由（1）得：∠CDN+∠CBM=180°．∵BE、DE分別五等分∠ABC、∠ADC的外角，∴∠CDE+∠CBE=×180°=36°，由三角形的外角性質得，∠BHD=∠CDE+∠E，∠BCD=∠BHD+∠CBE，∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E，∴∠E=90°﹣36°=54°．