Question

【題目】如圖，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AD＝2DC＝4，AB＝6．動點M以每秒1個單位長的速度，從點A沿線段AB向點B運動；同時點P以相同的速度，從點C沿折線C－D－A向點A運動．當點M到達點B時，兩點同時停止運動．過點M作直線l∥AD，與線段CD的交點為E，與折線A－C－B的交點為Q．點M運動的時間為t（秒）．

（1）當t＝0.5時，求線段QM的長；

（2）當M在AB上運動時，是否可以使得以C、P、Q為頂點的三角形為直角三角形？若可以，請求t的值；若不可以，請說明理由.

（3）當t＞2時，連接PQ交線段AC于點R．請探究是否為定值，若是，試求這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）QM=1；（2）t=1或或4；（3）為定值, .

【解析】試題分析：（1）過點C作CF⊥AB于F，利用直線平行得出Rt△AQM∽Rt△ACF，再利用對應邊的比值相等求出即可；

（2）由于∠DCA為銳角，故有三種情況：

①當∠CPQ＝90°時，點P與點E重合，可得DE＋CP＝CD，從而可求t；②當∠PQC＝90°時，如備用圖1，容易證出Rt△PEQ∽Rt△QMA，再利用比例線段，結合EQ＝EM﹣QM ＝4－2t，可求t；③當P在AD上時，∠PCQ＝90°，此時PD＝CD，代入即可求出t的值；

（3）當t＞2時，如備用圖2，先證明四邊形AMQP為矩形，再利用平行線分線段成比例定理的推論可得△CRQ∽△CAB，再利用比例線段可求．

試題解析：

解：（1）過點C作CF⊥AB于F，則四邊形AFCD為矩形．

∴CF＝4，AF＝2，

此時，Rt△AQM∽Rt△ACF，

∴ ，

即，

∴QM＝1；

（2）根據題意可得當0≤t≤2時，以C、P、Q為頂點可以構成三角形為直角三角形，故有三種情況：

①當∠CPQ＝90°時，點P與點E重合，此時DE＋CP＝CD，即t＋t＝2，∴t＝1；

②當∠PQC＝90°時，

如備用圖1，此時Rt△PEQ∽Rt△QMA，

∴ ，

由（1）知，EQ＝EM﹣QM＝4﹣2t，

而PE＝PC﹣CE＝PC﹣（DC﹣DE）＝t﹣（2﹣t）＝2t﹣2，

∴ ，

∴t＝ ；

③當P在AD上時，∠PCQ＝90°，此時PD＝CD，所以t－2＝2 ，所以t＝4；

綜上所述，t＝1或或4；

（3）為定值,

當t＞2時，如備用圖2，PA＝DA﹣DP＝4﹣（t﹣2）＝6﹣t，

由（1）得，BF＝AB﹣AF＝4，∴CF＝BF，∴∠CBF＝45°，∴QM＝MB＝6﹣t，∴QM＝PA，

∵AB∥DC，∠DAB＝90°，∴四邊形AMQP為矩形，∴PQ∥AB，∴△CRQ∽△CAB，

∴ .