Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)A（3，0），以A為圓心作⊙A與Y軸切于原點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，過(guò)B作⊙A的切線(xiàn)l．

（1）以直線(xiàn)l為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A及點(diǎn)C（0，9），求此拋物線(xiàn)的解析式；
（2）拋物線(xiàn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，過(guò)D作⊙A的切線(xiàn)DE，E為切點(diǎn)，求DE的長(zhǎng)；
（3）點(diǎn)F是切線(xiàn)DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△BFD與△EAD相似時(shí)，求出BF的長(zhǎng) ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為：x=6

∴設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為

∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0）和C（0，9）

∴

解得： ,k=-3

∴

（2）解：連接AE

∵DE是⊙A的切線(xiàn)，∴∠AED=90°，AE=3

∵直線(xiàn)l是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)A，D是拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)

∴AB=BD=3

∴AD=6

在Rt△ADE中，

∴

（3）解：）當(dāng)BF⊥ED時(shí)∵∠AED=∠BFD=90°∠ADE=∠BDF

∴△AED∽△BFD

∴ 即

∴

當(dāng)FB⊥AD時(shí)∵∠AED=∠FBD=90°∠ADE=∠FDB

∴△AED∽△FBD ∴ 即

∴當(dāng)△BFD與EAD△相似時(shí)，BF的長(zhǎng)為 或

【解析】（1）根據(jù)題意可知此拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=6，設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為頂點(diǎn)式，再將點(diǎn)A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，建立方程求解，即可求出此函數(shù)解析式。
（2） 由DE是⊙A的切線(xiàn)，因此添加輔助線(xiàn)連接AE，得出∠AED=90°，AE=3 ，再根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性及拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，求出AD的長(zhǎng)， 在Rt△ADE中，利用勾股定理求出DE的長(zhǎng)。
（3）抓住已知點(diǎn)F是切線(xiàn)DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，要使△BFD與△EAD相似，圖形中隱含公共角∠ADE=∠BDF，因此分兩種情況：當(dāng)BF⊥ED時(shí)；當(dāng)FB⊥AD時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，建立方程，即可求出BF的長(zhǎng)。
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和勾股定理的概念是解答本題的根本，需要知道增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減小；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．