Question

【題目】（給出定義）

數軸上順次有三點A、C、B,若點C到點A的距離是點C到點B的距離的3倍,我們就稱點C是(A、B)的“夢想點”例如:圖①中,點A、B表示的數分別為-2、2,表示數1的點C是(A、B)的“夢想點”；圖②中,點A、B表示對的數分別為-2、2，表示-1的點C是(B、A)的“夢想點.

（解決問題）

(1)若數軸上M、N兩點所表示的數分別為且滿足求出(M、N)的“夢想點”表示的數；

(2)如圖③,在數軸上點A、B表示的數分別為-15和65,點P從點A出發沿數軸向右運動:

①若點P運動到點B停止,則當P、A、B中恰好有一個點為其余兩個點的“夢想點”時,求這個點表示的數；

②若點P運動到B后,繼續沿數軸向右運動的過程中,是否還存在點P、A、B中恰好有一個點為其余兩點的“夢想點”的情況?若存在,請直接寫出此時以PA、PB為鄰邊長的長方形的周長；若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）-1；

（2）①45或5；②存在，B是（A，P）的夢想點時，以PA、PB為鄰邊長的長方形的周長為 ；B是(P，A)的夢想點時，以PA、PB為鄰邊長的長方形的周長為640.

【解析】

（1）由絕對值的非負性求出m、n的值，然后設所求數為x，根據“夢想點”的定義列出方程，解方程即可；

（2）①根據“夢想點”的定義可知分2種情況：P為（A,B）的夢想點；P為(B，A)的夢想點. 設點P表示的數為y，根據夢想點的定義列出方程，進而得出P點表示的數；

②假設存在滿足條件的點，根據“夢想點”的定義可知分2種情況：B是(A，P)的夢想點；B是(P，A)的夢想點．設點P表示的數為y，根據夢想點的定義列出方程，進而得出P點表示的數，進而求出長方形的周長即可.

（1）∵|m+7|+2|n-1|=0，

∴m=-7，n=1.

設所求數為x，由題意得

x（-7）=3（1-x），

解得x=-1；

（2）①設點P表示的數為y，分兩種情況：

P是（A，B）的夢想點，

由題意，得y-（-15）=3×（65-y），

解得y=45；

P是（B，A）的夢想點，

由題意，得65-y=3[y-（-15）]，

解得y=5；

故這個點P表示的數為45或5；

②B是（A，P）的夢想點，

由題意，得65（-15）=3（y65），

解得y=,

PA=65（-15）=80，PB= 65= ，

此時以PA、PB為鄰邊長的長方形的周長為：2×（80+）= ；

B是(P，A)的夢想點，

由題意得y65=3[65（-15）]

y=305，

PA=65（-15）=80，PB=30565=240，

此時以PA、PB為鄰邊長的長方形的周長為:2×(80+240)=640.

若點P運動到B后,繼續沿數軸向右運動的過程中,存在點P、A、B中恰好有一個點為其余兩點的“夢想點”的情況，B是（A，P）的夢想點時，以PA、PB為鄰邊長的長方形的周長為 ；B是(P，A)的夢想點時，以PA、PB為鄰邊長的長方形的周長為640.