Question

【題目】如圖，⊙O 是△ABC 的外接圓，O 點在 BC 邊上，∠BAC 的平分線交⊙O 于點 D，連接 BD、CD，過點 D 作 BC 的平行線，與 AB 的延長線相交于點 P．

（1）求證：PD 是⊙O 的切線；

（2）求證：△PBD∽△DCA．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）由直徑所對的圓周角為直角得到∠BAC為直角，再由AD為角平分線，得到一對角相等，根據同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍及等量代換確定出∠DOC為直角，與平行線中的一條垂直，與另一條也垂直得到OD與PD垂直，即可得證；
（2）由PD與BC平行，得到一對同位角相等，再由同弧所對的圓周角相等及等量代換得到∠P=∠ACD，根據同角的補角相等得到一對角相等，利用兩對角相等的三角形相似即可得證；

證明：（1）∵圓心O在BC上，

∴BC是圓O的直徑，

∴∠BAC=90°，

連接OD，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAC=2∠DAC，

∵∠DOC=2∠DAC，

∴∠DOC=∠BAC=90°，即OD⊥BC，

∵PD∥BC，

∴OD⊥PD，

∵OD為圓O的半徑，

∴PD是圓O的切線；

（2）∵PD∥BC，

∴∠P=∠ABC，

∵∠ABC=∠ADC，

∴∠P=∠ADC，

∵∠PBD+∠ABD=180°，∠ACD+∠ABD=180°，

∴∠PBD=∠ACD，

∴△PBD∽△DCA．