Question

【題目】如圖，已知中，，，直角的頂點P是BC的中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E、F，給出以下五個結論：①；②是等腰直角三角形；③；④；⑤．其中正確的有（ ）

A.2個B.3個C.4個D.5個

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據等腰直角三角形的性質可得AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，根據同角的余角相等求出∠APE=∠CPF，判定③正確，然后利用“角邊角”證明△APE和△CPF全等，根據全等三角形的可得AE=CF，判定①正確，再根據等腰直角三角形的定義得到△EFP是等腰直角三角形，判定②正確；根據等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的倍表示出EF，可知EF隨著點E的變化而變化，判定⑤錯誤， 根據=,則④錯誤.

∵AB=AC，∠BAC=90，點P是BC的中點，

∴AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45，

∴∠APF+∠CPF=90，

∵∠EPF是直角，

∴∠APF+∠APE=90，

∴∠APE=∠CPF，故③正確；

在△APE和△CPF中， ，

∴△APE≌△CPF(ASA)，

∴AE=CF，故①正確；

∴△EFP是等腰直角三角形，故②正確；

根據等腰直角三角形的性質，EF=PE，

所以，EF隨著點E的變化而變化，只有當點E為AB的中點時，EF=PE=AP，在其它位置時EF≠AP，故⑤錯誤；

根據=,則④錯誤