Question

【題目】如圖，平面直角坐標系，拋物線（，）與軸交于A、B兩點（A在B左側），與軸交于點C，過拋物線的頂點P且與軸平行的直線交BC于點D，且滿足BD：CD=3：2，

（1）若∠ACB=90°，求拋物線解析式；

（2）問OC和DP能否相等？若能，求出拋物線解析式，若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不能，理由見解析

【解析】

（1）根據平行線分線段成比例定理結合對稱軸的性質得到，BE=AE，設BE=AE=3m，則OE=2m，AO=m，再證得△AOC∽△COB，根據對應邊成比例，列式可求得的值，即求得點A、B的坐標，利用待定系數法即可求解；

（2）由（1）知：A（-m，0），B（5m，0），可求得拋物線的解析式為，則頂點為P（2m，-9），即EP=9，根據△BDE∽△BCO求得DE的長，DP的長，從而證明OC和DP不可能相等．

（1）設直線交x軸于點E，

∵直線∥軸，即DE∥OC，

∴，

∵直線經過頂點P，

∴直線是拋物線的對稱軸，

∴BE=AE，

設BE=AE=3m，則OE=2m，AO=m，

當∠ACB=90°時，

∵∠ACO+∠BCO=90，∠ACO+∠CAO=90，

∴∠CAO=∠BCO，

∴△AOC∽△COB，

∴，

故OC=AO·BO，即5=m·5m，

解得或(舍去)，

∴A（，0），B（，0），

將A，B坐標代入，

得：，

解得，

故二次函數的解析式為；

（2）由（1）知：A（-m，0），B（5m，0），

設二次函數的解析式為，

將C（0，-5）代入得：，

解得，

∴，

故P（2m，-9），即EP=9，

∵DE∥OC，

∴△BDE∽△BCO，

∴，且OC=5，

∵BD:CD=3:2，

∴DE=，

∴PD=9-3=6，

∵5≠6，

∴OC≠DP，

故OC和DP不可能相等．