Question

【題目】如圖，C是AB的垂直平分線EF上一點，連接CA，CB．以BC為直角邊作Rt△BCD，且CB＝CD，AD交EF于點H，BH交DC于點M．

（1）求證：∠HAC＝∠HBC＝∠HDC；

（2）判斷△DHB的形狀，并證明你的結論；

（3）若DH＝1，AH＝7，則BC＝ ．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）△DHB是直角三角形，理由見解析；（3）5

【解析】

（1）根據垂直平分線的性質和等邊對等角定理，可得到結論；

（2）在△HMD和△CMB中，有一對對頂角相等，由（1）知∠HBC＝∠HDC，故∠DHM＝∠BCM=90°，所以△DHB是直角三角形；

（3）先得出DH=AH=7,然后用兩次勾股定理，分別得到BD和BC,從而得解.

（1）證明：∵C是AB的垂直平分線EF上一點，

∴AC=BC,

∴∠CAB＝∠CBA，

同理，∠HAB＝∠HBA，

∴∠HAB-∠CAB＝∠HBA-∠CBA即∠HAC＝∠HBC，

又∵CB＝CD，

∴AC=CD,

∴∠HAC＝∠HDC,

∴∠HAC＝∠HBC＝∠HDC；

（2）由已知得∠BCM=90°，

在△HMD和△CMB中，有一對對頂角相等，由（1）知∠HBC＝∠HDC，

故∠DHM＝∠BCM=90°，

所以△DHB是直角三角形；

（3）∵H是AB的垂直平分線EF上一點，

∴BH=AH=7，

在直角三角形DHB中，

,

在等腰直角三角形BCD中，

，

故答案為：5.