Question

【題目】如圖，直線y=x+3與兩坐標軸交于A，B兩點，拋物線y=﹣x2+bx+c過A、B兩點，且交x軸的正半軸于點C．

（1）直接寫出A、B兩點的坐標；

（2）求拋物線的解析式和頂點D的坐標；

（3）在拋物線上是否存在點P，使得△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（0，3），A（﹣3，0）；（2）拋物線解析式為：y=﹣x2﹣2x+3；頂點D坐標為（﹣1，4）；（3）存在，符合條件的點P的坐標為（﹣1，4）或（2，﹣5）．

【解析】試題分析：（1）分別令x=0和y=0代入y=x+3中可得結論；

（2）利用待定系數法求二次函數的解析式，根據配方法可得頂點D的坐標；

（3）分兩種情況：設點P的坐標為（t，﹣t2﹣2t+3）．根據兩點距離公式可得：AB2=32+32=18，AP2=（t+3）2+（﹣t2﹣2t+3）2，BP2=t2+（﹣t2﹣2t）2．

①如圖1，如果點B為直角頂點，那么AB2+BP2=AP2；

②如圖2，如果點A為直角頂點，那么AP2+AB2=BP2，列方程可得結論．

試題解析：解：（1）當x=0時，y=3，∴B（0，3），當y=0時，x+3=0，x=﹣3，∴A（﹣3，0）；

（2）把A（﹣3，0），B（0，3）分別代入y=﹣x2+bx+c得：

，解得： ，∴拋物線解析式為：y=﹣x2﹣2x+3；

頂點D坐標為（﹣1，4）

（3）存在．

設點P的坐標為（t，﹣t2﹣2t+3）．

∵A（﹣3，0），B（0，3），∴AB2=32+32=18，AP2=（t+3）2+（﹣t2﹣2t+3）2，BP2=t2+（﹣t2﹣2t）2．

當△PAB是以AB為直角邊的直角三角形時，可分兩種情況：

①如圖1，如果點B為直角頂點，那么AB2+BP2=AP2

（事實這里的點P與點D 重合）

即18+t2+（﹣t2﹣2t）2=（t+3）2+（﹣t2﹣2t+3）2，整理得t2+t=0，解得t1=﹣1，t2=0（不合題意舍去），則點P的坐標為（﹣1，4）；

②如圖2，如果點A為直角頂點，那么AP2+AB2=BP2，即18+（t+3）2+（﹣t2﹣2t+3）2=t2+（﹣t2﹣2t）2，整理得t2+t﹣6=0，解得t1=2，t2=﹣3（不合題意舍去），則點P的坐標為（2，﹣5）；

綜上所述：所有符合條件的點P的坐標為（﹣1，4）或（2，﹣5）．

另解：如圖3，作DE⊥y軸于點E，發現∠ABO=∠DBE=45°

可知頂點D滿足△DAB是直角三角形，這時點P的坐標為（﹣1，4）；

作PA⊥AB交拋物線于點P，作PF⊥x軸于點F，發現∠PAF=∠APF=45°，由PF=AF求出另一點P為（2，﹣5）．