Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y= x2﹣ x﹣ 與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，對稱軸與x軸交于點D，點E（4，n）在拋物線上．

（1）求直線AE的解析式；
（2）點P為直線CE下方拋物線上的一點，連接PC，PE．當△PCE的面積最大時，連接CD，CB，點K是線段CB的中點，點M是CP上的一點，點N是CD上的一點，求KM+MN+NK的最小值；
（3）點G是線段CE的中點，將拋物線y= x2﹣ x﹣ 沿x軸正方向平移得到新拋物線y′，y′經過點D，y′的頂點為點F．在新拋物線y′的對稱軸上，是否存在一點Q，使得△FGQ為等腰三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y= x2﹣ x﹣ ，

∴y= （x+1）（x﹣3）．

∴A（﹣1，0），B（3，0）．

當x=4時，y= ．

∴E（4， ）．

設直線AE的解析式為y=kx+b，將點A和點E的坐標代入得： ，

解得：k= ，b= ．

∴直線AE的解析式為y= x+ ．

（2）

解：設直線CE的解析式為y=mx﹣ ，將點E的坐標代入得：4m﹣ = ，解得：m= ．

∴直線CE的解析式為y= x﹣ ．

過點P作PF∥y軸，交CE與點F．

設點P的坐標為（x， x2﹣ x﹣ ），則點F（x， x﹣ ），

則FP=（ x﹣ ）﹣（ x2﹣ x﹣ ）= x2+ x．

∴△EPC的面積= ×（ x2+ x）×4=﹣ x2+ x．

∴當x=2時，△EPC的面積最大．

∴P（2，﹣ ）．

如圖2所示：作點K關于CD和CP的對稱點G、H，連接G、H交CD和CP與N、M．

∵K是CB的中點，

∴k（ ，﹣ ）．

∵點H與點K關于CP對稱，

∴點H的坐標為（ ，﹣ ）．

∵點G與點K關于CD對稱，

∴點G（0，0）．

∴KM+MN+NK=MH+MN+GN．

當點O、N、M、H在條直線上時，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH．

∴GH= =3．

∴KM+MN+NK的最小值為3．

（3）

解：如圖3所示：

∵y′經過點D，y′的頂點為點F，

∴點F（3，﹣ ）．

∵點G為CE的中點，

∴G（2， ）．

∴FG= = ．

∴當FG=FQ時，點Q（3， ），Q′（3， ）．

當GF=GQ時，點F與點Q″關于y= 對稱，

∴點Q″（3，2 ）．

當QG=QF時，設點Q1的坐標為（3，a）．

由兩點間的距離公式可知：a+ = ，解得：a=﹣ ．

∴點Q1的坐標為（3，﹣ ）．

綜上所述，點Q的坐標為（3， ）或′（3， ）或（3，2 ）或（3，﹣ ）．

【解析】（1）拋物線的解析式可變形為y= （x+1）（x﹣3），從而可得到點A和點B的坐標，然后再求得點E的坐標，設直線AE的解析式為y=kx+b，將點A和點E的坐標代入求得k和b的值，從而得到AE的解析式；（2）設直線CE的解析式為y=mx﹣ ，將點E的坐標代入求得m的值，從而得到直線CE的解析式，過點P作PF∥y軸，交CE與點F．設點P的坐標為（x， x2﹣ x﹣ ），則點F（x， x﹣ ），則FP= x2+ x．由三角形的面積公式得到△EPC的面積=﹣ x2+ x，利用二次函數的性質可求得x的值，從而得到點P的坐標，作點K關于CD和CP的對稱點G、H，連接G、H交CD和CP與N、M．然后利用軸對稱的性質可得到點G和點H的坐標，當點O、N、M、H在條直線上時，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH；（3）由平移后的拋物線經過點D，可得到點F的坐標，利用中點坐標公式可求得點G的坐標，然后分為QG=FG、QG=QF，FQ=FQ三種情況求解即可．