Question

已知△ABD和△CBD關于直線BD對稱(點A的對稱點是點C)，點E、F分別是線段BC和線段BD上的點，且點F在線段EC的垂直平分線上，聯結AF、AE，交BD于點G．
（1）如圖（1），求證：∠EAF=∠ABD；

圖（1）
（2）如圖（2），當AB=AD時，M是線段AG上一點，聯結BM、ED、MF，MF的延長線交ED于點N，∠MBF=∠BAF，AF=AD，試探究線段FM和FN之間的數量關系，并證明你的結論．

圖（2）

Answer 1

(1)見解析；（2）FM=FN．

試題分析：（1）如圖1，連接FE、FC，構建全等三角形△ABF≌△CBF（SAS），則易證∠BAF=∠2，FA=FC；根據垂直平分線的性質、等量代換可知FE=FA，∠1=∠BAF，則∠5=∠6．然后由四邊形內角和是360°、三角形內角和定理求得∠5+∠6=∠3+∠4，則∠5=∠4，即∠EAF=∠ABD；
（2）FM=FN．理由如下：由△AFG∽△BFA，易得∠AGF=∠BAF，所以結合已知條件和圖形得到∠MBG=∠BMG．易證△AGF∽△DGA，則對應邊成比例：．即．設GF=2a（a＞0），AG=3a，則GD=a，FD=a；利用平行線（BE∥AD）截線段成比例易得，則．設EG=2k（k＞0），所以BG=MG=3k．如圖2，過點F作FQ∥ED交AE于點Q．則又由FQ∥ED，易證得，所以FM=FN．
試題解析：
證明：如圖1 連接FE、FC

∵點F在線段EC的垂直平分線上,
∴FE=FC   ∴∠l=∠2
∵△ABD和△CBD關于直線BD對稱．
∴AB=CB,∠4=∠3，又BF=BF
∴△ABF≌△CBF，∴∠BAF=∠2，FA=FC
∴FE=FA，∠1=∠BAF．
∴∠5=∠6，
∵∠l+∠BEF=180º，∴∠BAF+∠BEF=180º
∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE=360º
∴∠AFE+∠ABE=180º
又∵∠AFE+∠5+∠6=180º，
∴∠5+∠6=∠3+∠4
∴∠5=∠4，即∠EAF=∠ABD
解：FM=FN
證明：如圖2，

由(1)可知∠EAF=∠ABD，
又∵∠AFB=∠GFA ∴△AFG∽△BFA
∴∠AGF=∠BAF
又∵∠MBF=∠BAF，∴∠MBF=∠AGF
又∵∠AGF=∠MBG+∠BMG∴∠MBG=∠BMG
∴BG=MG
∵AB=AD ∴∠ADB=∠ABD=∠EAF
又∵∠FGA=∠AGD．∴△AGF∽△DGA．
∴
∵AF=AD
∴
設GF=2a，則AG=3a，
∴GD=a，∴FD=DG-GF==a
∵∠CBD=∠ABD，∠ABD=∠ADB，∴∠CBD=∠ADB.
∴．∴，
設EG=2k，則MG=BG=3k
過點F作FQ∥ED交AE于Q，
∴．∴,∴GQ=EG=
∴QE=   ∴MQ=MG+GQ=3k+=
∵FQ∥ED，
∴.
∴FM=FN.