Question

【題目】如圖，是的直徑，弦點是直徑上方半圓上的動點(包括端點和的平分線相交于點E，當點從點運動到點時，則兩點的運動路徑長的比值是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

延長交于點，連接DA、DB，由圓周角定理和等角對等邊的性質可知DA＝DE，據此可知，在以為圓心，長為半徑的圓上，根據角平分線的性質、圓周角定理及等邊三角形的判定可知為等邊三角形，進而可知DA＝DB＝DO，由此可知，當由運動到到時，運動路徑為，運動路徑為，與對應的圓周半徑相同，最后計算路徑長度比即為圓心角之比．

如圖1，延長交于點，

由平分得恒為劣弧中點．

由已知，得，

則，

得．

故在以為圓心，長為半徑的圓上．

∵∠ACB＝2∠2＝60°，

∴∠2＝30°，

∴∠BOD＝60°，

∵DO＝BO，

∴△BOD是等邊三角形，

∴DO＝DB＝DA，

如圖2，當由運動到到時，運動軌跡為．

運動路徑為與路徑對應的圓周半徑相同，計算路徑長度比即為圓心角之比，

由得路徑長度之比為．

故選：C．