Question

【題目】如圖．在中，，，，是的中位線，連結，點是邊上的一個動點，連結交于，交于．

(1)當點是的中點時，求的值及的長

(2) 當四邊形與四邊形的面積相等時，求的長：

(3)如圖2．以為直徑作．

①當正好經過點時，求證：是的切線：

②當的值滿足什么條件時，與線段有且只有一個交點．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）①見解析；②當或時，與線段有且只有一個交點．

【解析】

（1）根據題意得H為的重心，即可得的值，由重心和中位線的性質求得，由勾股定理求得的長，即可得的長；

（2）根據圖中面積的關系得S四邊形DCFG=，列出關系式求解即可得的長；

（3）根據與線段有且只有一個交點，可分兩類情況討論：當與相切時，求得的值；當過點E，此時是與線段有兩個交點的臨界點，即可得出與線段有且只有一個交點時滿足的條件．

解：（1）∵是的中位線，

∴分別是的中點，，

又∵點是的中點，

∴與的交點是的重心，

，即；，

∴，

在中，D為AC中點，，則，

∴DG為的中位線，G為AF的中點，

，

，

在中，，，，

，

則，

，

；

（2）∵四邊形與四邊形的面積相等，

∴S四邊形DCFH+=S四邊形BEGH+，

即S梯形DCFG=，

∵，，是的中位線，

∴，，

∵，

設，∵DG為的中位線，

∴，

則S梯形DCFG，

解得：，

；

（3）①證明：如圖2，連結，

為的直徑，經過點，

，

∴，為直角三角形，

為的中點，

，

．

又，

，

∴，即，

∴，即是的切線；

②如圖3-1，當與相切時，與線段有且只有一個交點，

設的半徑為r，圓心O到DE的距離為d，

∴當r=d時，與相切，

∵，，，

∴兩平行線之間的距離為，

∴，

則，，

由得：，

；

如圖3-2，當經過點時，連接、，

設的半徑為，即，

∵G為AF的中點，O為CF的中點，

∴，

∴四邊形COGD為平行四邊形，

又∵，

∴四邊形COGD為矩形，

∴，則，為直角三角形，

∴，，

則，

由勾股定理得：，即，

解得：，則，

，

由得：，

，

則當時，與線段有且只有一個交點；

綜上所述，當或時，與線段有且只有一個交點．