Question

【題目】對于一元二次方程（，，，為常數），下列說法：

①方程的解為；

②若，則方程必有一根為；

③若，則一元二次方程必有一根為；

④若，則方程有兩個不等實數根；

⑤若，則方程有兩個相等的實數根，

正確的結論是________．

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

有當△=b2-4ac＞0時，方程的解為，由此即可判定說法錯誤；
②首先把b=a+c變為a-b+c=0，當x=-1時，ax2+bx+c=a-b+c，由此即可判定說法正確；
③首先把b=2a+c變為4a-2b+c=0，當x=-2時，ax2+bx+c=4a-2b+c，由此即可判定說法正確；
④首先由ac＜0，可得方程cx2+bx+a=0是一元二次方程，再根據△=b2-4ac＞0，可得方程cx2+bx+a=0有兩個不等實數根，由此即可判定說法正確；
⑤只有當c≠0時，方程cx2+bx+a=0是一元二次方程，若b2-4ac=0，則方程cx2+bx+a=0有兩個相等的實數根，由此即可判定說法錯誤．

①對于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數），
當△=b2-4ac＜0時，方程無解；
當△=b2-4ac≥0時，方程的解為，故原說法錯誤；
②∵b=a+c，
∴a-b+c=0，
∴當x=-1時，ax2+bx+c=a-b+c=0，
∴x=-1為方程ax2+bx+c=0的一根，故原說法正確；
③∵b=2a+ c，
∴4a-2b+c=0，
∴當x=-2時，ax2+bx+c=4a-2b+c=0，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根為x=-2，故原說法正確；
④∵ac＜0，
∴c≠0，方程cx2+bx+a=0是一元二次方程，
∵△=b2-4ac＞0，
∴方程cx2+bx+a=0有兩個不等實數根，故原說法正確；
⑤當c≠0時，方程cx2+bx+a=0是一元二次方程，若b2-4ac=0，則方程cx2+bx+a=0有兩個相等的實數根；
當c=0時，b=0，方程cx2+bx+a=0不可能有兩個相等的實數根，故原說法錯誤．
故答案是：②③④．