Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，對角線AC為⊙O的直徑，過點C作AC的垂線交AD的延長線于點E，點F為CE的中點，連接DB， DF．

（1）求證：DF是⊙O的切線；

（2）若DB平分∠ADC，AB=a， ∶DE=4∶1，寫出求DE長的思路．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）答案見解析

【解析】試題解析：（1）連接OD，由AC為圓O的直徑，得∠ADC為直角，從而ΔCDE為直角，再由點F為CE的中點，得∠FDC=∠FCD，再由OD=OC得∠ODC=∠OCD，由∠FCD+∠OCD=90°得∠FDC+∠ODC=90°， 即DF是⊙O的切線；

（2）由DB平分∠ADC，AC為⊙O的直徑，證明△ABC是等腰直角三角形；由AB=a，求出AC的長度為；由∠ACE=∠ADC=90°，∠CAE是公共角，證明△ACD∽△AEC，得到；設DE為x，由∶DE=4∶1，求出.

試題解析：（1）證明：連接OD.

∵ OD=CD，

∴ ∠ODC=∠OCD.

∵ AC為⊙O的直徑，

∴ ∠ADC=∠EDC=90°.

∵ 點F為CE的中點，

∴ DF=CF.

∴ ∠FDC=∠FCD.

∴ ∠FDO=∠FCO.

又∵ AC⊥CE，

∴ ∠FDO=∠FCO=90°.

∴ DF是⊙O的切線.

（2）①由DB平分∠ADC，AC為⊙O的直徑，證明△ABC是等腰直角三角形；

②AB=a，求出AC的長度為；

③由∠ACE=∠ADC=90°，∠CAE是公共角，證明△ACD∽△AEC，得到；

④設DE為x，由∶DE=4∶1，求出.