Question

（2012•鞍山）如圖，AB是⊙O的弦，AB=4，過圓心O的直線垂直AB于點D，交⊙O于點C和點E，連接AC、BC、OB，cos∠ACB=

1

3

，延長OE到點F，使EF=2OE．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求證：BF是⊙O的切線．

Answer 1

分析：（1）連OA，由直徑CE⊥AB，根據垂徑定理可得到AD=BD=2，弧AE=弧BE，利用圓周角定理得到∠ACE=∠BCE，∠AOB=2∠ACB，且∠AOE=∠BOE，則∠BOE=∠ACB，可得到cos∠BOD=cos∠ACB=

1

3

，在Rt△BOD中，設OD=x，則OB=3x，利用勾股定理可計算出x=

2

2

，則OB=3x=

3 2

2

；
（2）由于FE=2OE，則OF=3OE=

9 2

2

，則

OB

OF

=

1

3

，而

OD

OB

=

1

3

，于是得到

OB

OF

=

OD

OB

，根據相似三角形的判定即可得到△OBF∽△ODB，根據相似三角形的性質有∠OBF=∠ODB=90°，然后根據切線的判定定理即可得到結論．

解答：（1）解：連OA，如圖，
∵直徑CE⊥AB，
∴AD=BD=2，弧AE=弧BE，
∴∠ACE=∠BCE，∠AOE=∠BOE，
又∵∠AOB=2∠ACB，
∴∠BOE=∠ACB，
而cos∠ACB=

1

3

，
∴cos∠BOD=

1

3

，
在Rt△BOD中，設OD=x，則OB=3x，
∵OD²+BD²=OB²，
∴x²+2²=（3x）²，解得x=

2

2

，
∴OB=3x=

3 2

2

，
即⊙O的半徑為

3 2

2

；

（2）證明：∵FE=2OE，
∴OF=3OE=

9 2

2

，
∴

OB

OF

=

1

3

，
而

OD

OB

=

1

3

，
∴

OB

OF

=

OD

OB

，
而∠BOF=∠DOB，
∴△OBF∽△ODB，
∴∠OBF=∠ODB=90°，
∵OB是半徑，
∴BF是⊙O的切線．

點評：本題考查了圓的綜合題：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧；在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角的度數等于它所對的圓心角的度數的一半；過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線；運用三角形相似證明角度相等．