Question

已知：如圖，一次函數y=x+1的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B；二次函數y=x²+bx+c的圖象與一次函數y=x+1的圖象交于B、C兩點，與x軸交于D、E兩點且D點坐標為（1，0）
（1）求二次函數的解析式；
（2）求四邊形BDEC的面積S；
（3）在x軸上有一動點P，從O點出發以每秒1個單位的速度沿x軸向右運動，是否存在點P使得△PBC是以P為直角頂點的直角三角形？若存在，求出點P運動的時間t的值，若不存在，請說明理由．
（4）若動點P在x軸上，動點Q在射線AC上，同時從A點出發，點P沿x軸正方向以每秒2個單位的速度運動，點Q以每秒a個單位的速度沿射線AC運動，是否存在以A、P、Q為頂點的三角形與△ABD相似，若存在，求a的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直線BC的解析式，可求得點B的坐標，由于B、D都在拋物線的圖象上，那么它們都滿足該拋物線的解析式，通過聯立方程組即可求得待定系數的值；
（2）根據拋物線的解析式，可求得E點的坐標，聯立直線BC的解析式，可求得C點坐標；那么四邊形BDEC的面積即可由△AEC、△ABD的面積差求得；
（3）假設存在符合條件的P點，連接BP、CP，過C作CF⊥x軸于F，若∠BPC=90°，則△BPO∽△CPF，可設出點P的坐標，分別表示出OP、PF的長，根據相似三角形所得比例線段即可求得點P的坐標，繼而得出t的值．
（4）假設成立有△ABD∽△APQ或△ABD∽△AQP，則有∠ABD=∠APQ，或∠ABD=∠AQP，判斷是否滿足即可．
解答：解：（1）將B（0，1），D（1，0）的坐標代入y=x²+bx+c，
得：，
解得：
故解析式y=x²-x+1；

（2）設C（x，y），
則有 ，
解得 ，
∴C（4，3），
由圖可知：S=S_△ACE-S_△ABD，又由對稱軸為x=可知E（2，0），
∴S=AE•y-AD×OB=×4×3-×3×1=；

（3）設符合條件的點P存在，令P（a，0）：
當P為直角頂點時，如圖：過C作CF⊥x軸于F；
∵Rt△BOP∽Rt△PFC，
∴，
即 ，
整理得a²-4a+3=0，
解得a=1或a=3；
故可得t=1或3．

（4）存在符合條件的t值，使△APQ與△ABD相似，
①當△APQ∽△ABD時，，
解得：a=；
②當
 解得：a=，
∴存在符合條件的a值，使△APQ與△ABD相似，a=或．
點評：此題考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點坐標及圖形面積的求法、直角三角形的判定以及相似三角形的性質等，難度適中．