Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=10．

（1）E是CD上的點，將△ADE沿折痕AE折疊，使點D落在BC邊上點F處．求DE的長；

（2）點P是線段CB延長線上的點，連接PA，若△PAF是等腰三角形，求PB的長；

（3）M是AD上的動點，在DC上存在點N，使△MDN沿折痕MN折疊，點D落在BC邊上點T處，請直接寫出線段CT長度的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）6或4或；（3）12．

【解析】

（1）根據折疊的特點和勾股定理即可求出ED的長；

(2)需分AP=AF；PF=AF和AP=PF三種情況分別求出PB的長即可；

（3）由題意可知當點N與C重合時，CT取最大值是8；當點M與A重合時，CT取最小值為4，進而求出線段CT長度的最大值與最小值之和．

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，AB=8，AD=10

∴AF=AD=10，FE=DE(折疊對稱性)

∵在Rt△ABF中，BF=6，AF=10

∴FC=4

所以在Rt△ECF中，42+（8-DE）2=EF2，

∴DE=5；

(2)當AP=AF時,AB⊥PF，∴PB=BF=6；

當PF=AF時，則PB+6=10，解得PB=4；

若AP=PF，在Rt△APB中，AP2=PB2+AB2，解得PB=．

綜合可得PB=6或4或；

（3）當點N與C重合時，CT最大=MD=8；

當點M與A重合時，AT=AD=10,AB=8,CT最小=10-6=4，

∴線段CT長度的最大值與最小值之和為12．