Question

如圖，OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，O為原點，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=5，OC=3．
（1）在AB邊上取一點D，將紙片沿OD翻折，使點A落在BC邊上的點E處，求點D，E的坐標；
（2）若過點D，E的拋物線與x軸相交于點F（-5，0），求拋物線的解析式和對稱軸方程；
（3）若（2）中的拋物線與y軸交于點H，在拋物線上是否存在點P，使△PFH的內心在坐標軸上？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．
（4）若（2）中的拋物線與y軸相交于點H，點Q在線段OD上移動，作直線HQ，當點Q移動到什么位置時，O，D兩點到直線HQ的距離之和最大？請直接寫出此時點Q的坐標及直線HQ的解析式．

Answer 1

分析：（1）本題可根據折疊的性質來求解．根據折疊的性質可得出OE=OA，可在直角三角形OCE中，用勾股定理求出CE的長，也就求出了E點的坐標．在直角三角形DBE中，還是根據折疊的性質，DA=DE，DB=3-DE，而BE可根據OA和CE的長求出，因此根據勾股定理即可求出DE即AD的長，也就得出了D點的坐標．
（2）根據D、E、F的坐標，用待定系數法即可求出拋物線的解析式，進而可求出其對稱軸的方程．
（3）當內心在y軸上時，根據三角形內心的性質可知：y軸正好是∠PHF的角平分線，那么∠PHO=∠FHO=45°，設PH與x軸的交點為M，易知三角形OMH為等腰直角三角形，由此可求出M的坐標，進而可求出直線PH的解析式，聯立拋物線的解析式即可求出P點的坐標．
當內心在x軸上時，解法同上．
（4）根據“直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短”可知，當直線HQ⊥OD時，O，D兩點到直線HQ的距離之和最大，此時點Q為垂足．利用三角形相似可求得點Q的坐標．

解答：解：（1）依題意，OE=OA=5，
在Rt△OCE中，CE²=OE²-OC²=5²-3²=4²，
∴CE=4．
設點D的坐標為（5，y），
則AD=DE=y，BD=3-y，BE=5-4=1．
在Rt△BED中，ED²=EB²+BD²，
∴y²=12+（3-y）²，
解得y=

5

3

，
∴點D，E的坐標分別為（5，

5

3

），（4，3）．

（2）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
∵拋物線過點D（5，

5

3

），E（4，3），F（-5，0），
∴

25a+5b+c= 5 3 16a+4b+c=3 25a-5b+c=0

，
解得

a=- 1 6 b= 1 6 c=5

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

6

x²+

1

6

x+5．
對稱軸的方程為x=-

b

2a

=-

1 6

2×(- 1 6 )

=

1

2

．
∴對稱軸的方程為x=

1

2

．

（3）存在這樣的P點，使△PFH的內心在坐標軸上．
①若△PFH的內心在y軸上，設直線PH與x軸相交于點M，
∵∠FHO=∠MHO，HO⊥FM，
∴FO=MO，
∴點M的坐標為（5，0）．
∴直線PH的解析式為y=-x+5．
解方程組

y=-x+5 y=- 1 6 x2+ 1 6 x+5

，
得

x1=0 y1=5

，

x2=7 y2=-2

．
∴點P的坐標為（7，-2）．
②若△PFH的內心在x軸上，設直線PF與y軸相交于點N，
∵∠HFO=∠NFO，FO⊥HN，
∴HO=NO，
∴點N的坐標為（0，-5），
∴直線FN的解析式為y=-x-5．
解方程組

y=-x-5 y=- 1 6 x2+ 1 6 x+5

，
得

x1=-5 y1=0

，

x2=12 y2=-17

．
∴點P的坐標為（12，-17）．
綜合①②可知點P的坐標為（7，-2）或（12，-17）．

（4）（附加題）點Q的坐標為（

3

2

，

1

2

），
直線HQ的解析式為y=-3x+5．

點評：本題為二次函數綜合題，綜合考查了矩形的性質、圖形的折疊變換、三角形的內心等重要知識．難度較大．